Понятие динамической системы

Выше мы рассмотрели теоретико – множественный подход к опреде – лению системы. Однако существует и другой подход – функционально- временной , когда система рассматривается как некоторое устройство , в которое что – то (энергия, информация, вещество) вводится и что – то из него выводится. Предварительно остановимся на некоторых понятиях.

Процесс (лат. processus – продвижение) – последовательная смена во времени явлений, событий, состояний, либо множество последовательных действий, направленных на достижение какого – либо конечного результата (цели).

Переменные (координаты) процесса – это наиболее существенные параметры, характеризующие состояние процесса и изменяющие свои значения во времени.

{ xi } = X.

Выбор переменных процесса – задачи.

Состояние процесса в момент времени tk  – это множество значений переменных в этот момент времени:        { xi ( tk ) },

где tk ∈ T, T – множество моментов времени.

3

2

1

tk                         t

В каждый момент времени t ∈ T  система S получает некоторое входное воздействие U(t) и порождает некоторую выходную величину y(t). Будем полагать , что значения входных воздействий U(t) выбираются из некоторого фиксированного множества U , т.е. ∀ t: ui(t) ∈ U. В общем  случае отрезок входного воздействия не может быть произвольной функцией, а должен принадлежать узкому классу Ω , т.е. ω: (t₁, t₂) →U, где ω ∈ Ω, ω(t₁,t₂) ∈ Ω. Выбор  Ω  диктуется либо физическими соображениями, либо математическими потребностями. Мгновенные значения выходной вели – чины y(t) также принадлежат некоторому фиксированному множеству Y , т.е. y(t) ∈ Y и на выходные величины также могут быть наложены ограничения γ: γ(t₂, t₃) →Y, где γ ∈ Г – допустимые отрезки выходных величин.

В общем случае значение выходной величины системы зависит как от текущего значения входного воздействия, так и от предыстории этого воздейстивия. /Сравни: система в момент воздействия была или в сос – тоянии покоя, или же находилась в движении из – за действия предыду – щих входных величин./. Чтобы не различать эти два случая , лучше говорить , что текущее значение выходной величины y(t) системы S зависит от состояния системы.

Y=f(x,u) ,  Y=f(x).

Состояние системы – это есть некоторая (внутренняя) характеристика системы {xi} , значение которой в настоящий момент времени определяет текущее значение выходной величины {Yj} и оказывает влияние на её будущее.

T x x → Y .

При этом знание состояния x(t₁) и отрезка входных воздействий ω=ω(t₁,t₂) должно быть необходимым и достаточным условием , позволяющим определить состояние x(t₂) = ϕ(t₂;t₁,x(t₁),ω) каждый раз, когда t₁<t₂. При этом множество Т упорядочено , т.е. в нём определено направление. Обычно направление Т таково , что прошлое предшествует будущему и влияет на него, но не наоборот. Поэтому математическое понятие динамической (причинной) системы служит для описания потока причинно-следственных  связей из прошлого в будущее.

Определение 1. Динамической системой S называется сложное математическое понятие , определяемое следующими аксиомами:

a). Заданы множество моментов времени T, множество состояний X, множество мгновенных значений входных воздействий U, множество допустимых входных воздействий Ω={ω : T →U}, множество мгновенных значений выходных величин Y и множество допустимых выходных величин Г = { γ: T →Y}.

b). (Направление времени). Множество Т есть некоторое упорядоченное подмножество множества вещественных чисел.

c). Множество входных воздействий Ω удовлетворяет условиям нетривиальности (Ω≠∅) и сочленения входных воздействий на заданном отрезке.

d). Существует переходная функция состояния:

ϕ : T х T х X х Ω → X

значениями которой служат состояния x(t) = ϕ(t; τ, x(τ), ω) ∈X, в которых оказывается система в момент времени t∈T, если в начальный момент времени τ∈T она была в начальном состоянии x(τ) ∈ X и если на неё действовало входное воздействие ω ∈ Ω⊂U. При этом ϕ должно обладать следующими свойствами: